M2三角學證明題

問：已知 A +
B + C = π，sin
A = 1/2 (sin B + sin C)，證明 cot (B/2) cot (C/2) = 3

解：

                                                        sin
A = 1/2 (sin B + sin C)

                                                        sin
A = 1/2 [cos (π/2 - B) + cos (π/2 - C)]

                                                        sin
A = 1/2 [cos (1/2) (π - 2B) + cos (1/2) (π - 2C)]

                                            sin
A = 1/2 [cos (1/2) (A - B + C) + cos (1/2) (A + B - C)]

                                2
sin (A/2) cos (A/2) = cos (A/2) cos (1/2) (B - C)

                                                2
sin (A/2) = cos (1/2) (B - C)

                                    2
cos (1/2) (π - A) = cos (1/2) (B - C)

                                   2
cos (1/2) (B + C) = cos (1/2) (B - C)

1/2 [cos (1/2) (B + C) + cos (1/2) (B - C)] = -3/2
[cos (1/2) (B +C) - cos (1/2) (B - C)]

                                    cos
(B/2) cos (C/2) = 3 sin (B/2) sin (C/2)

                                   cos
(B/2) ÷ sin (B/2) = 3 sin (C/2) ÷ cos (C/2)

                                                     cot
(B/2) = 3 tan (C/2)

                                      cot
(B/2) cot (C/2) = 3

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各位同學：千萬別以為可以由解題第一步想到中間那些步驟，栗是由最後一步往回做，然後將演算步驟倒轉抄一遍的。如果連這個技倆也不會，M2的考試成績便凍過水了。