2011年2月22日 星期二

忘憂藥

朋友大多聞數色變,但計數對栗來說,卻是一服忘憂藥。



每次碰上挑戰題,總令栗全心投入,忘卻一切。由茫無頭緒到曙光初現,當中的百轉千迴,非筆墨所能形容;而成功解題所帶來的滿足感,令栗感到人生在世,還是有些東西值得留戀的。



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再來M2三角學證明題──



問:若A +
B + C = 180
o,證明 cos A + cos B
+ cos C = 1 + 4 sin (A/2) sin (B/2) sin (C/2)



解:



(cos A + cos B) + (cos C - 1)

= 2 cos (1/2)(A + B) cos (1/2)(A - B) - 2 sin
2(C/2)

= 2 cos (1/2)(180
o - C)
cos (1/2)(A - B) - 2 sin
2(C/2)

= 2 sin
(C/2)
cos (1/2)(A - B) - 2 sin
2(C/2)

= 2 sin
(C/2)
[cos (1/2)(A - B) - 2 sin
(C/2)]

= 2 sin
(C/2)
[cos (1/2)(A - B) - 2 sin
(1/2)(180o - (A + B))]

= 2 sin
(C/2)
[cos (1/2)(A - B) - 2 cos (1/2)(A + B)]

= 2 sin
(C/2)
[-2 sin (A/2) sin (- B/2)]

= 4 sin (A/2) sin (B/2) sin (C/2)



只要把左方的減一右移,便可證明

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin (A/2) sin (B/2) sin (C/2)


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